جهانی شگفت انگیز ریاضی، خسته کننده ترین اعداد جهان! - عینک آفتابی

به گزارش عینک آفتابی، اگر می خواهید در پاسخ به سوال: عدد مورد علاقه تان چیست؟ پاسخ واقعاً خلاقانه ای بدهید، می توانید عددی مانند 20067 را انتخاب کنید که هنوز هیچ ورودی در دایره المعارف اسلون ندارد.

عدد مورد علاقه شما چیست؟ بسیاری از مردم ممکن است در پاسخ به این سوال یک عدد نامتعارف را در فکر داشته باشند، اعدادی مانند عدد پی (π)، عدد اویلر(e) یا جذر یک عدد با ریشه 2.

به گزارش خبرآنلاین، اینکه اعداد اول (اعداد طبیعی بزرگتر از یک) و اعداد با پایه 2، افراد زیادی را جذب خود می کنند جای تعجب ندارد. در واقع، تمام اعداد به دو دسته تقسیم می شوند: اعداد جالب و اعداد خسته کننده.

(لازم به توضیح است که یک عدد مثبت زمانی خسته کننده نام می گیرد که تمام ارقام آن در موقعیت های زوج، عدد زوج و همه ارقام در موقعیت های فرد، فرد باشند. ارقام از چپ به راست با شروع از یک شمرده می شوند). اما حتی در میان اعداد طبیعی، می توانید مقادیری را پیدا کنید که در زمینه های اجتماعی مختلف نیز با آنها روبرو می شوید: هفت کوتوله، هفت گناه مرگبار، عدد 13به عنوان عدد بد شانسی، و عدد42 که با رمان راهنمای مسافران مجانی کهکشان اثر داگلاس آدامز رایج شد.

اما در مورد اعداد بزرگتری مانند 1729 چطور؟ مطمئناً این عدد برای بیشتر مردم هیجان انگیز به نظر نمی رسد. این عدد در نگاه اول، کاملا خسته کننده به نظر می رسد. زیرا نه یک عدد اول است، نه توان عدد2 و نه مربع یک عدد. همچنین این ارقام از هیچ الگوی واضحی پیروی نمی کنند. این همان چیزی است که گادفری هارولد هاردی ، ریاضیدان (1877-1947) هنگامی که سوار تاکسی با شماره پلاک 1729 شد، به آن فکر کرد.

در آن زمان، او می خواست به ملاقات همکار خود سرینیواسا رامانوجان (1887-1920) برود که در بیمارستان بستری بود. هاردی به دوست خود درباره شماره پلاک خسته کننده تاکسی گفت. هاردی امیدوار بود که این عدد نشانه یک فال بد نباشد. به همین دلیل رامانوجان بلافاصله با دوستش مخالفت کرد و گفت: اتفاقا این عدد بسیار جالب است. این کوچکترین عددی است که به صورت مجموع دو عدد مکعب به دو روش مختلف قابل بیان است. اکنون ممکن است فکر کنید که در این صورت آیا اصلاً عددی وجود دارد که جالب نباشد. این سوال به سرعت منجر به ایجاد یک پارادوکس می شود: اگر واقعاً یک اندازه عددی مانند n وجود داشته باشد، این واقعیت که این عدد خاصیت هیجان انگیزی ندارد، آن را خاص می کند. اما در واقع برای مشخص ویژگی های جالب یک عدد، روش های کاملاً عینی وجود دارد؛ تحقیقات اجرا شده از طریق ریاضیدانان در سال 2009 بسیار شگفت انگیز بود و نشان داد که اعداد طبیعی (اعداد صحیح مثبت) به دو بخش کاملاً مشخص تقسیم می شوند: اعداد هیجان انگیز و اعداد خسته کننده.

دایره المعارف توالی اعداد

یک دایره المعارف جامع از توالی اعداد، ابزاری برای بررسی این دو مقوله متضاد را فراهم می کند. نیل اسلون، ریاضیدان، در سال 1963، زمانی که در حال نوشتن سرانجام نامه دکترای خود بود، ایده چنین توالی ای را در فکر داشت. در آن زمان او باید مقادیر را در یک نوع نمودار به نام شبکه درختی محاسبه می کرد و در حین انجام این کار به رشته ای از اعداد برخورد کرد: 0، 1، 8، 78، 944، ... ولی نمی دانست دقیقا چگونه اعداد موجود در این دنباله را محاسبه کند. او دوست داشت بداند که آیا همکارانش قبلاً در طول تحقیقات خود به دنباله مشابهی برخورد کرده بودند یا خیر.

اما برخلاف لگاریتم ها یا فرمول ها، هیچ چیز ثبت شده ای برای دنباله اعداد وجود نداشت. و به این ترتیب، 10 سال بعد، اسلون اولین دایره المعارف خود به نامکتاب راهنمای دنباله اعداد صحیح را منتشر کرد که شامل حدود 2400 دنباله بود و در انجام محاسبات خاص نیز مفید بود. این کتاب با استقبال زیادی روبرو شد. به گفته اسلون یکی از خوانندگان مشتاق این کتاب برای او نوشته:تنها سه کتاب وجود دارد،عهد عتیق، عهد نو و کتاب راهنمای توالی اعداد صحیح.

در سال های بعد، توالی های بیشتری برای اسلون ارسال شد و مقالات علمی با موضوع توالی اعداد نو منتشر شدند. در سال 1995، این ریاضیدان به همراه همکارش سیمون پلوف، دایره المعارف توالی اعداد صحیح را منتشر کردند که شامل 5500 دنباله بود. تولید محتوا در این زمینه به طور بی وقفه ادامه داشت، اما اینترنت امکان کنترل این حجم بالا از داده ها را فراهم کرد: در سال 1996، دایره المعارف آنلاین توالی اعداد صحیح (OEIS) به شکلی ظاهر شد که هیچ گونه محدودیتی در تعداد توالی هایی که می توان ثبت کرد، وجود نداشت.

این سایت، تنها در مارچ 2023، بیش از 360 هزار ورودی داشته است. هر کسی می تواند اطلاعات را ارسال کند: هر شخصی که یک ورودی را ثبت می کند، فقط باید توضیح دهد که چگونه این دنباله ایجاد شده و از چه جهت جالب است، همچنین افراد باید مثال هایی برای توضیح چند عبارت اول ارائه دهند. پس از آن، داوران ورودی ها را بررسی کرده و در صورت داشتن معیارها، آن را منتشر می کنند.

علاوه بر توالی های معروف مانند اعداد اول(2،3،5،7،11،000)، توان های عدد 2(2،4،8،16،32،000) و یا توالی فیبوناچی (1،1،2،3،5،8،13،000)، کاتالوگ OEIS شامل نمونه های عجیبی نیز هست.

مثلا تعداد روش های ساخت یک برج پایدار از n(تعداد نامشخص) قطعه لگو دو در چهار، یا توالی غذا برای تنبل ها(lazy caterers sequence)، حداکثر تعداد قطعاتی که می توانیم با n برش مستقیم از یک پای یا پیتزا بدست آوریم.

از آنجایی که توالی های ارسالی اعداد، از طریق حدود 130 نفر بررسی می شوند و این لیست چندین دهه است که وجود دارد و از طرف جامعه ریاضی دانان به خوبی شناخته شده است، این مجموعه قرار است به عنوان یک انتخاب هدف از همه توالی ها در نظر گرفته شود. این باعث می شود کاتالوگ OEIS محبوبیت زیادی برای مطالعه توالی اعداد داشته باشد. بر این اساس، هر چقدر که یک عدد بیشتر در لیست ظاهر شود، جالب تر خواهد بود.

این نظر فیلیپ گوگلیمتی بود که وبلاگ فرانسوی زبان دکتر گولو را اداره کند. گوگلیمتی، در یک پست ادعای یک معلم سابق ریاضی را که عدد 1548 را عددی دلخواه و بدون هیچ خاصیتی بیان کرده بود بررسی کرده و می گوید که در واقع این عدد 326 بار در کاتالوگ OEIS آمده است. هاردی هم اشتباه کرد که شماره پلاک 1729 را عددی خسته کننده و بی خاصیت نامید: زیرا این عدد 918 بار در پایگاه داده ها ظاهر شده است (و همچنین در برنامه تلویزیونی Futurama نیز چندین بار آمده است!)

بنابراین گوگلیمیتی شروع به تحقیق درباره اعدادی که واقعا خسته کننده هستند کرد، یعنی اعدادی که به ندرت در کاتالوگ OEIS ظاهر می شوند. یکی از این موارد عدد 20067 است. از ماه مارس، این کوچکترین عددی است که در هیچ یک از توالی های عددی که وارد سیستم شده اند دیده نشده است. (دلیل آن این است که پایگاه داده ها فقط 180 کاراکتر اول یک دنباله اعداد را ذخیره می کند، در غیر اینصورت همه اعداد در لیست اعداد صحیح مثبت OEIS ظاهر خواهند شد.) در حالی که عدد 20067، یک عدد خسته کننده به نظر می رسد، عدد 20068 که فقط یک عدد بیشتر است، 6 بار در این پایگاه داده ها آمده است.

اما قانون جهانی برای طبقه بندی اعداد خسته کننده وجود ندارد. شاید زمانی که این مقاله در حال نگارش است، دنباله اعدادی کشف شود که عدد 20067، جزء 180 کاراکتر اول آن باشد. با این وجود، ورودی های OEIS معیاری مناسب برای سنجش جالب بودن یک عدد مشخص است.

گوگلیمتی تعداد همه ورودی های اعداد طبیعی را به ترتیب به دست آورد و نتیجه را به صورت گرافیکی ترسیم کرد. او توانست ابری از نقاط را به شکل یک منحنی وسیع به دست آورد که شیب آن به سمت مقادیر بزرگ زیاد می شود. این موضوع تعجب آور نیست، زیرا فقط اولین اعضای یک توالی در کاتالوگ OEIS ذخیره می شوند. اما نکته شگفت آور این است که منحنی از دو نوار تشکیل شده است که با یک فاصله آشکار از هم جدا شده اند. بنابراین هر عدد طبیعی ممکن است به تناوب و یا به ندرت در پایگاه داده های OEIS ظاهر شوند.

گولگیمتی که مجذوب این نتیجه شده بود، آن را برای ژان پل دیلاهای که یک ریاضیدان است و مقالات او به طور دائم در مجله Pour la Science منتشر می شوند فرستاد. او می خواست بداند که آیا کارشناسان قبلا این پدیده را بررسی کرده اند یا نه؟ جواب منفی بود، بنابراین دیلاهای موضوع را با همکارانش نیکولاس گووریت و هکتور زنیل عنوان نمود و به بررسی دقیق آن پرداخت. آنها از نتایج تئوری اطلاعات الگوریتمی استفاده کردند که پیچیدگی یک عبارت را با طول کوتاه ترین الگوریتمی که عبارت را بیان می کند، می سنجند. مثلا بیان عدد دلخواه پنج رقمی ای مانند 47934 (توالی ارقام 4،7،9،3،4) سخت تر از عدد 16384(دو به توان 14) است. طبق این قاعده از تئوری اطلاعات، اعدادی که ویژگی بیشتری دارند، پیچیدگی کمتری نیز دارند.

این بدان معناست که مقادیری که اغلب در کاتالوگ OEIS ظاهر می شوند، احتمالا به سادگی قابل بیان کردن هستند. دیلاهای، گووریت و زنیل توانستند نشان دهند که نظریه اطلاعات، مسیر مشابهی را برای پیچیدگی اعداد طبیعی که در منحنی گولگیمتی نشان داده شده بودند، پیش بینی می کند. اما این نمی تواند توضیحی برای شکاف این منحنی که به یاد نیل اسلون آن را شکاف اسلون می نامند، باشد.

به عقیده این سه ریاضیدان این شکاف ناشی از عوامل اجتماعی است، زیرا افراد بعضی از اعداد خاص را ترجیح می دهند. آنها برای اثبات این موضوع، به انجام کاری پرداختند که با نام شبیه سازی مونته کارلو شناخته می شود: آنها تابعی را طراحی کردند که اعداد طبیعی را به اعداد طبیعی دیگر وصل می کند و این کار به گونه ای انجام می شود که اعداد کوچک بیشتر از اعداد بزرگتر خروجی دارند. محققان مقادیر تصادفی را در تابع قرار دادند و نتایج را بر اساس فراوانی آنها ترسیم کردند. این کار یک منحنی درهم و شیبدار، شبیه به داده های کاتالوگ OEIS ایجاد کرد. و درست مانند تجزیه و تحلیل تئوری اطلاعات، اثری از شکاف وجود نداشت.

برای درک بهتر اینکه این شکاف چطور ایجاد می شود باید ببینیم کدام اعداد در کدام نوار قرار می گیرند. برای مقادیر کوچک، شکاف اسلون خیلی مشخص نیست و در حدود 300 عدد است. فقط برای اعداد بزرگتر این شکاف به شکل قابل توجهی باز می شود: حدود 18 درصد از همه اعداد بین 300 تا 10 هزار در این نوارجالب قرار دارند، در حالیکه 82 درصد به جای مانده جزء اعداد خسته کننده هستند.

همانطور که مشخص است، نوار اعداد جالب، حدود 95.2 درصد از اعداد مربع و 99.7 درصد از اعداد اول، و همچنین 39 درصد از اعداد با ویژگی های عوامل اصلی را شامل می شوند. در حال حاضر، این سه کلاس نزدیک به 88 درصد از گروه اعدادجالب را تشکیل می دهند. مقادیر باقیمانده به ترتیب دارای ویژگی های قابل توجهی مانند 1111 یا فرمول های 2n + 1 و 2n - 1 هستند.

بر اساس تئوری اطلاعات، اعدادی که باید مورد توجه خاص قرار بگیرند، اعدادی هستند که پیچیدگی کمی دارند، یعنی بیان آنها آسان است. اما اگر طبق استدلال دیلاهای، گاوریت و زنیل، ریاضی دانان ارزش های خاصی را هیجان انگیزتر از ارزش های دیگر، و با پیچیدگی مساوی بدانند، این می تواند به شکاف اسلون منجر شود. به عنوان مثال: 2n + 1 و 2n + 2 از نظر تئوری اطلاعات، به یک اندازه پیچیده هستند، اما فقط مقادیر فرمول اول در نوار اعداد جالب قرار می گیرد. دلیل آن این است که چنین اعدادی امکان مطالعه اعداد اول را فراهم می کنند، و به همین دلیل است که می توان آنها در زمینه های دیگر نیز دید.

بنابراین به نظر می رسد تقسیم بندی اعداد به جالب و خسته کننده ناشی از قضاوت های ما است، مثلا اهمیت دادن به اعداد اول. اگر می خواهید در پاسخ به سوال: عدد مورد علاقه تان چیست؟ پاسخ واقعاً خلاقانه ای بدهید، می توانید عددی مانند 20067 را انتخاب کنید که هنوز هیچ ورودی در دایره المعارف اسلون ندارد.

منبع: Scientific American